Exercice 4 : (7 points )
Les parties A et B sont indépendantes.
un laboratoire de recherche étudie l'évolution d'une population
animale qui semble en voie de disparition.
Partie A
En 2000, une étude est effectuée sur un échantillon
de cette population dont l'effectif initial est égal à mille.
Cet échantillon évolue et son effectif, exprimé en
milliers d'individus, est approché par une fonction f du
t (exprimé en années à partir de l'origine 2000).
D'après le modèle d'évolution choisi, la fonction
f est dérivable, strictement positive sur [0 ; + 
[ , et satisfait l'équation différentielle :
1. Démontrer l'équivalence suivante :
Une fonction f, dérivable, strictement positive sur [0 ;
+ [ , vérifie,
pour tout t de [0 ; +
[ ,
si et seulement si la fonction g = ln ( f ) vérifie
, pour tout t de [0 ; +
[ ,
2. Donner la solution générale de l'équation
différentielle :
3. En déduire qu'il existe un réel C tel que , pour
tout t de [0 ; +
[ :
( la notation exp désigne la fonction exponentielle naturelle x
ex
)
4. La condition initiale conduit donc à considérer
la fonction f définie par :
a. Déterminer la limite de la fonction f en +
b. Déterminer le sens de variation de f sur [0 ;
+ [
c. Résoudre dans [0 ; +
[ l'inéquation f(t) < 0,02
Au bout de combien d'années, selon ce modèle, la taille
de l'échantillon sera-t-elle inférieure à vingt individus
?
Partie B
En 2005, ce laboratoire de recherche met au point un test de dépistage
de la maladie responsable de cette disparition et fournit les renseignements
suivants : " la population testée comporte 50 % d'animaux
malades. Si un animal est malade, le test est positif dans 99 % des cas
; si un animal n'est pas malade, le test est positif dans 0,1 % des cas
".
On note M l'évènement " la animal est malade ",
l'évenement
contraire et T l'évènement " le test est positif ".
1. Déterminer P(M) , PM(T) , P(T).
2. En déduire P(T)
3. Le laboratoire estime qu'un test est fiable, si sa valeur prédictive,
c'est à dire la probabilité qu'un animal soit malade sachant
que le test est positif, est supérieure à 0,999. Ce test
est-il fiable ?
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