Un chariot de masse 200 kg se déplace sur une voie rectiligne et horizontale. Il est soumis à une force d'entraînement constante de valeur 50 N. Les forces de frottement sont proportionnelles à la vitesse et de sens contraire ; le coefficient de proportionnalité a pour valeur absolue 25 N.m^-1.s^-1.
La position du chariot est repérée par la distance x , en mètres , du point H à l'origine O du repère en fonction du temps t, exprimé en secondes. On prendra t dans l'intervalle [0 ; + [.
Les lois de Newton conduisent à l'équation différentielle du mouvement (E)
25 x' + 200x'' = 50, où :
x' est la dérivé de x par rapport au temps t,
x'' est la dérivée seconde de x par rapport au temps t.
1) On note v(t) la vitesse du chariot au temps t ; on rappelle que v(t) = x'(t) . Prouver que x est solution de (E) si et seulement si x' est solution de l'équation différentielle (F)

Résoudre l'équation différentielle (F).
2) On suppose que , à l'instant t = 0, on a : x(0) = 0 et x'(0) = 0 .
a) Calculer, pour tout nombre réel t positif, x'(t)
b) En déduire que l'on a, pour tout nombre réel t positif,
x(t) = 2t - 16 + 16e^-t/8 .
3) Calculer

Pour quelles valeurs de t la vitesse du chariot est-elle inférieure où égale à 90 % de sa valeur limite V ?
4) Quelle est la distance parcourue par le chariot au bout de 30 secondes ? On exprimera cette distance en mètres, au décimètre près.

Correction :
1)

donc x est solution de (E) si et seulement si x' est solution de l'équation différentielle (F)
* Résolution de l'équation homogène v' = (-1/8) v
les solutions de cette équation sont les fonctions t a e^-t/8 , où a est une constante réelle.
* Solution particulière de l'équation différentielle (F), la solution particulière de l'équation différentielle (F) est un polynôme de degré 0, on a donc :
(-1/8)v₀(t) + 1/4 = 0
v₀(t) = 2
* Solutions générale de l'équation : t v(t) = 2 + a e^-t/8 où k est une constante réelle.
2) a )
x'(t) = 2 + a e^-t/8 .
x'(0) = 0
2 + a = 0
donc a = -2 d'où x'(t) = 2 - 2 e^-t/8 .
2) b)
x(t) = 2t + 16e^-t/8 + b où b est une constante réelle.
or x(0) = 0 donc
16 + b = 0 d'où b = -16
x(t) = 2t + 16e^-t/8 - 16 = 2t - 16 + 16e^-t/8 .
3)


Pour t [0 ; 8 ln 10] , la vitesse du chariot est inférieure ou égale à 90 % de sa vitesse limite V .
4)

La distance parcourue par le chariot au bout de 30 secondes est d'environ 44,4 m