Partie A
1. Pour tout réel x on a g' (x) = ex -2.
g' (x) > 0 équivaut à ex -2 > 0 équivaut à ex > 2 équivaut à x > ln 2
donc la fonction g est croissante sur [ ln 2 ; +
[ et décroissante sur ] -
; ln 2 ]g(ln2) = eln2 -2 ln2 = 2 - 2 ln2.
2. Le minimum de la fonction g : g(ln2) = 2 - 2ln 2 > 0 donc pour tout réel x on a : g(x) > 0.
Partie B
On considère la fonction f définie sur
par f (x) = ex -x2.1.
2. Pour tout réel x on a : f '(x) = ex - 2x = g(x) > 0 d'après la partie A.
on en déduit f strictement croissante sur
3. a) f (-l) = e-1 - 1 = 1/e - 1 ; f (0) = e0 -02 = 1
b) La fonction f est strictement croissante sur [-1 ; 0] et on a : f(-1) < 0 < f(0) donc la solution de l'équation f (x) = 0 est unique et elle appartient à l'intervalle [-1 ; 0]
c) f(-0,704) < 0 < f(-0,703) donc la solution de cette équation est comprise entre -0,704 et -0,703 on peut donc prendre -0,704 comme valeur approchée à 10-3 près de cette solution.
