EXERCICE 4 ( 6 points )
Les partie A et B sont indépendantes.
Partie A
Pour effectuer un examen médical, on injecte par piqûre intramusculaire une dose de 3 cm³ d'une substance médicamenteuse dans le sang d'une malade à l'instant t = 0 ( t exprimé en heures ). Celle-ci passe alors progressivement dans le sang.
La diffusion atteint son maximum au bout d'une heure.
La courbe de l'annexe représente la quantité de substance présente dans le sang à l'instant t.
1. Construire sur la feuille annexe la tangente à la courbe au point d'abscisse 2, sachant que son coefficient directeur est égal à ( - 0,9).
2. A partir du graphique commenter l'évolution de la quantité de substance médicamenteuse contenue dans le sang.
3. Pour pouvoir effectuer l'examen, il faut que la quantité de substance médicamenteuse dans le sang supérieure ou égale à 0,5 cm³. Déterminer graphiquement de combien de temps on dispose pour faire cet examen.
Partie B.
On a injecté par piqûre intraveineuse 1 cm³ de médicament à un malade à l'instant t = 0. La substance se répartir immédiatement dans le sang et elle est ensuite progressivement éliminée. Expérimentalement, on montre que la quantité q(t) de substance présente dans le sang à l'instant t est donnée par la relation : q(t) = e^-0,15t où t est exprimée en heures.
1. Quel volume de ce produit reste-t-il au bout de 90 minutes ?
2. Quel volume de ce produit le malade a-t-il éliminé au bout d'une demi-heure ? d'une heure ?
3. On donne q'(t) = - 0,15e^-0,15t où q' désigne la fonction dérivée de la fonction q.
Etudier les variations de la fonction q sur l'intervalle sur l'intervalle [0 ; 9] puis tracer sa représentation graphique dans un repère orthogonal en prenant pour unités 2 cm en abscisses et 10 cm en ordonnées.
Feuille annexe.

Correction :
Partie A :
1.

2. De t = 0 à 1 heure, quantité de substance présente dans le sang augmente.
Elle diminue progressivement de 1 heure à 7 h 30.
3. Il suffit de regarder sur quel(s) intervalle(s) la courbe est au dessus de la droite d'équation y = 0,5 cm³, c'est sur l'intervalle [0,1 ; 3,9]
On dispose de 3,8 heures (3,9 - 0,1 ) pour faire l'examen soit : 3 h et 0,8 60 min = 3h 48 minutes
Partie B :
1. q(t) = e^-0,15t
90 min = 1 h 30 = 1,5 heure.
q(1,5) = e^-0,151,5 = 0,80 cm³
2 Volume de ce produit le malade éliminé au bout d'une demi-heure :
V = 1 - q(0,5) = 1 - e^-0,150,5 = 0,53 cm^{3
Volume de ce produit le malade éliminé au bout d'une heure :
V' = 1 - q(1) = 1 - e-0,151 = 0,78 cm3}
3. q'(t) = - 0,15e^-0,15t < 0 donc la fonction q est strictement décroissante sur [0 ; 9]
q(0) = 1 et q(9) = e^-0,159 = 0,26 ^cm3