On considère la fonction f définie sur ]0 ; + [ par :

et on note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal
( unité graphique : 5 cm )
Partie A : Etude de la fonction f.
1. Etudier les limites de f en 0 et en +
(pour cette dernière on pourra remarquer que :

2. a. Montrer que :

pour tout x appartenant à ]0 ; + [
b. En déduire le sens de variation de f .
c. Dresser le tableau de variation de f.

Partie B : Etude de quelques points particuliers de C
1. Déterminer l'abscisse x₁ du point d'intersection M₁ de C avec l'axe des abscisses.
2. Soit x₂ = 1/ . On note M₂ le point de C d'abscisse x₂.
a. Déterminer une équation de la tangente ₂ au point M₂.
b. vérifier que ₂ passe par O.
3. Indiquer l'abscisse x₃ du point M₃ de C tel que la tangente ₃ à C en M₃ soit parallèle à l'axe des abscisses.
4. Soit f'' la fonction dérivée de f' : calculer f''(x) pour
x appartenant à ]0 ; + [ .
Déterminer le réel x₄ qui annule f''(x) .
On appelle M₄ le point de C d'abscisse x₄.
5. Vérifier que x₁, x₂, x₃ , x₄ sont quatre termes consécutifs d'une suite géométrique dont on indiquera la raison.
6. Placer les points M₁, M₂, M₃ , M₄ dans le repère
Construire les tangentes ₂ et ₃ puis la courbe C.
Partie C : Calcul d'une aire
1. On note g la fonction définie sur ]0 ; + [ par :

Calculer la dérivée de g. En déduire une primitive de f sur ]0 ; + [ ,après avoir remarqué que :

2. Hachurer le domaine plan limité par la courbe C, l'axe des abscisses et les droites d'équation x = 1/e et x = 2. Calculer la valeur exacte A de l'aire de ce domaine exprimée en cm².
Correction :
A 1.

on peut en déduire en passant que la droite d'équation x = 0 est asymptote à C.

On peut en déduire que la droite d'équation y = 0 est asymptote en +
2. a.
f est dérivable sur ]0 ; + [ et pour tout réel x de ]0 ; + [ on a :

2.b.
f '(x) est du signe de - ln x car x² > 0 sur ]0 ; + [
- lnx > 0 si et seulement si lnx < 0 si et seulement si 0 < x < 1
on en déduit que sur l'intervalle ]0 ; 1] , f'(x) 0 donc f croissante
sur l'intervalle [1 ; + [ , f'(x) 0 donc f décroissante .
2. c .


Partie B :
1. Le point M₁ a pour ordonnées 0 donc son abscisse est solution de l'équation f(x) = 0 :

2. a.
coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse x₂ :

ordonnée du point au point d'abscisse x₂ :

équation de la tangente ₂ au point M₂ :

b. c'est bien l'équation d'une droite passant par l'origine du repère.
3. la tangente au point M₃ d'abscisse x₃ est parallèle à l'axe des abscisses donc son coefficient directeur est nul donc f'(x₃) = 0 on en déduit x₃ = 1 et M₃ ( 1 ; 1 )
4.


5.

donc x₁, x₂, x₃ , x₄ sont les quatre termes consécutifs d'une suite géométrique de raison
6.

Partie C :
1. g est dérivable sur ]0 ; + [ et pour tout réel x de ]0 ; + [ on a :


2.