Soit f la fonction définie sur ]-1 ; + [ par
f(x) = -x + ln(2x + 2) - ln(x + 2) .
On appelle (C) la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal ( 4 cm pour une unité en abscisses et 8 cm pour une unité en ordonnées).
Préliminaires :
1. Montrer que sur ]-1 ; + [, (2x + 2) > 0 et (x + 2) > 0
2. Etudier le signe de x² + 3x + 1 sur et en déduire que sur l'intervalle ]-1 ; + [,
x² + 3x + 1 s'annule pour une et une seule valeur dont on donnera la valeur exacte.
Partie A : Limites et asymptotes
1. Déterminer . Que peut-on en déduire graphiquement ?
2.
2.a. Montrer que f(x) peut s'écrire sous la forme :

2.b. Déterminer alors

2.c. Montrer que la droite D d'équation y = -x + ln(2)
est une asymptote oblique à (C) en + .
2.d. Déterminer la position de (C) par rapport à la droite D sur ]-1 ; + [

Partie B : Etude des variations
1. Calculer la dérivée f ' de f et montrer que :

2. A l'aide des résultats obtenus dans les préliminaires,
étudier le signe de f ' sur ]-1 ; + [.
3. Construire le tableau de variation de la fonction f (on se contentera d'une valeur décimale approchée à 10^-1 près de l'extremum de f )

Partie C : Représentation graphique
1. Justifier que l'équation f(x) = 0 admet, dans l'intervalle [-0,8 ; -0,4], une solution unique notée . Donner une encadrement à 10^-2 près de .
2. Déterminer une équation de la droite T tangente à (C) au point d'abscisse 0.
3. Reproduire et compléter le tableau suivant : ( on donnera les résultats arrondis à 10^-1 près ).


4. Représenter graphiquement la droite T, les asymptotes et (C) dans le repère donné.

Correction :
Préliminaires :
1.
sur ]-1 ; + [, x > -1 donc 2x > -2 par conséquent 2x + 2 > 0
sur ]-1 ; + [, x > -1 donc x + 2 > 1 > 0
2. = 3² - 411 = 9 - 4 = 5 > 0 donc le trinôme x² + 3x + 1 admet 2 racines réelles disctintes :

et il est positif à l'extérieur de ses racines :


sur ]-1 ; + [, x² + 3x + 1 s'annule pour :

-0,38.
sur ]-1 ; + [, x² + 3x + 1 > 0 si et seulement si x > .

Partie A : Limites et asymptotes
1.

on en déduit que la droite d'équation x = -1 est asymptote à la courbe (C)
2.
2.a.

2. b.

2.c.

donc la droite d'équation y = -x + ln(2) est une asymptote à la courbe (C) en + .
2.d.
Sur ]-1 ; + [, 0 < x + 1 < x + 2 donc :

par conséquent f(x) - (-x + ln2 ) < 0 sur ]-1 ; + [, par conséquent la courbe (C) est en dessous de la droite D sur l'intervalle ]-1 ; + [.
Partie B : Etude des variations .
1. f est dérivable sur ]-1 ; + [ et pour tout réel x de l'intervalle ]-1 ; + [ on a :

2. d'après les préliminaire (x + 1) et (x + 2) sont strictement positifs sur ]-1 ; + [,
donc f ' (x) est du signe de -(x² + 3x + 1).
3.
Valeur approchée à 10^-1 près de f() .
f() 0,1
Si vous tenez à calculer vraiment la valeur exacte ...

Tableau de variation de la fonction f

Partie C : Représentation graphique

1.
f (-0,8) - 0,30 < 0
f (-0,4) 0,11 > 0
f est dérivable sur l'intervalle ]-0.8 ; -0,4 [
f ' (x) > 0 sur l'intervalle ]-0.8 ; -0,4 [ donc la fonction f est strictement croissante sur ]-0.8 ; -0,4 [ de plus f (-0,8) - 0,30 < 0 et f(-0,4 ) > 0 donc l'équation f(x) = 0 admet une solution unique sur l'intervalle ]-0.8 ; -0,4 [.
f(-0,64) > 0 et f(-0,65) < 0 donc -0,65 < < -0,64
2.
Coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 0 :
f ' (0) = 1/2
Ordonnée du point d'abscisse 0 :
f(0) = ln2 - ln2 = 0
L'équation de la tangente au point d'abscisse 0 est donnée par la formule :
y = f '(0)(x - 0) + f(0)
y = x/2
T : y = x/2
3.

4.