Exercice n° 2 (4 points ) :
Une association de randonneurs organise un repas. Elle fixe le prix de la manière suivante :
- le tarif pour un enfant âgé de 10 ans ou moins est de 5 € ;
- le tarif pour un jeune âgé de 11 à 16 ans est de 8 € ;
- dans les autres cas le tarif est de 10 €
De plus, tout membre de l'association bénéficie d'une réduction de 20 % appliquée au tarif le concernant. Ainsi, un membre âgé de 11 à 16ans paiera 6,4 €.
Les participants au repas, au nombre de 600, sont répartis selon le tableau ci-dessous :

Partie A
On choisit au hasard une personne ayant participé au repas.
1. Quelle est la probabilité qu'elle soit membre de l'association ?
2. Quelle est la probabilité qu'elle paye plus de 7 € ?
3. On considère la variable aléatoire X égale au prix du repas pour un participant choisi au hasard. Vérifier que la probabilité pour que X prenne la valeur 6,4 est égale à 1/15.
4. Déterminer les valeurs prises par X, puis donner la loi de probabilité de X.
5. Déterminer l'espérance mathématique de X, notée E(X) ( calculer la valeur exacte sous forme d'une fraction, puis une valeur décimale approchée à 0,01 près ).

Partie B
Calculer la recette totale perçu par l'association à l'occasion de ce repas.

Correction :

1. Parmis les 600 participants au repas il y a 200 membres , donc la probabilité que la personne choisie soit membre de l'association est de 200/600 soit 1/3.
2.

Les personnes qui payent plus de 7 € sont les jeune âgé de 11 à 16 ans non membres et les plus de 16 ans. Parmis les 600 participants au repas il y a 100 + 300 personnes qui paient plus de 7 € donc la probabilité que la personne choisie paye plus de 7 € est de : 400/600 = 2/3.
3.
p( X = 6,4) = 40/600 = 1/15
4. X prend ses valeurs dans l'ensemble {4 ; 5; 6,4 ; 8; 10}
p(X = 4) = 50/600 = 1/12
p(X = 5) = 110/600 = 11/60
p(X = 6,4) = 1/15
p(X = 8) = 210/600 = 7/20
p(X = 10) = 190/600 = 19/60
5.
E(X) = 2293/300 7,64

Partie B
Le prix moyen payé par les participants est de 2293/300 €, donc la recette totale perçu par l'association à l'occasion de ce repas est de 2293/300 * 600 = 4586 €