Problème (11 points)
Le plan est rapporté au repère orthonormal . (L'unité graphique est 2 cm).
Le but du problème est l'étude de la fonction f définie sur l'intervalle ]0;+[ par :

puis de calculer une aire.
I ) Etude d'une fonction auxiliaire g
On note g la fonction définie sur l'intervalle ]0;+[ par : g(x) = x² - 4 + 2 ln(x).
1) Calculer la fonction dérivée g' de la fonction g.
2) Déterminer le sens de variation de la fonction g.
(On ne demande pas les limites en 0 et en + .)
3) Résolution de l'équation g(x) = 0.
a) Démontrer que sur l'intervalle [ 1 ; 2 ] l'équation g(x) = 0 possède une solution unique .
b) Donner un encadrement d'amplitude 10^-2 de ce nombre .
4) Déduire de ce qui précède le signe de g(x) suivant les valeurs de x,
dans l'intervalle ]0;+[.
II) Etude de la fonction f
1) Déterminer la limite de f en 0. Qu'en déduit-on pour la courbe C ?
2) Etude en +.
a) Déterminer la limite de f en +.
b) Démontrer que la droite D d'équation y = x -1 est asymptote à la courbe C ?.
c) Déterminer les coordonnées du point A commun à la courbe C et à la droite D.
d) Etudier la position de la courbe C par rapport à la droite D.
3) Etude des variations de f.
a) Déterminer la fonction dérivée f ' de la fonction f
Vérifier que pour tout réel x appartenant à l'intervalle ]0;+[ ; f '(x) = g(x)/x² , où g est la fonction étudiée dans la partie I.
b) En utilisant les résultats de la partie I, dresser le tableau des variations de la fonction f
4) On note T la tangente à la courbe C au point d'abscisse e².
Montrer que T est parallèle à l'asymptote D.
5) Dans le repère , tracer la droite D, la tangente T et la courbe C à l'aide de l'étude précédente. ( On prendra f() = 1,25 m )
III) Calcul d'une aire
On définit sur l'intervalle ]0;+[ la fonction H par :

1) Démontrer que H est une primitive de la fonction f sur l'intervalle ]0;+[.
2) Soit E la région du plan limitée par la courbe C, l'axe des abscisses et les droites d'équations x = 1 et x = e.
a) Hachurer la région E sur votre figure.
b) On note S l'aire, exprimée en unité d'aire, de la région E
Déterminer la valeur exacte de S.
c) Donner la valeur décimale approchée de cette aire, arrondie au mm².