Problème
Partie A
1. L' équation y' + y = 0 est de la forme y' - ay = 0 avec a = -1 , or on sait que les solutions de cette équation sont des fonctions y définies par y(x) = ke^ax = ke^-x où k est une constante réelle quelconque.
2. h(x) = 2xe^-x, la fonction h est dérivable sur et pour tout réel x on a :
h' (x) = 2e^-x - 2xe^-x (forme (uv)' = u' v + uv' )
donc h' (x) + h(x) = 2e^-x - 2xe^-x + 2xe^-x = 2e^-x , il en résulte que la fonction h vérifie l'équation (1) elle est donc solution de l'équation (1).
3. a. On admet que toute solution de (1) s'écrit sous la forme g + h, où g désigne une solution de l'équation (2) donc toute solution de (1) s'écrit :
y(x) = ke^-x + 2xe^-x où k est une constante réelle quelconque.
b. f est solution de (1) donc f(x) = ke^-x + 2xe^-x avec la condition initiale f(0) = -1 on va déterminer la constante k : ke⁰ + 0 = -1 d'où k = -1
La fonction f est définie sur par f(x) = -e^-x + 2xe^-x = (2x - 1)e^-x
Partie B
1. a .

1. b.

Conséquence graphique : la droite d'équation y = 0 ( axe des abscisses ) est asymptote
à la courbe C en + .
2. a.

sur , e^{-x > 0} donc f ' (x) est du signe de -2x + 3.
2. b.


3.a. Soit x l'abscisse du point d'intersection de la courbe C avec l'axe des abscisses on a :
f(x) = 0 d'où (2x - 1)e^-x équivaut à 2x - 1 = 0 soit x = 1/2.
La courbe coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse 1/2.
b.

c. ( Voir figure ci-contre )
Partie C
1. Pour tout réel x ,on a :
- f ' (x) + 2e^-x = - (- 2x + 3)e^-x + 2e^-x
= (2x - 3)e^-x + 2e^-x
= (2x - 3 + 2)e^-x
= (2x - 3 + 2)e^-x = f(x)
donc pour tout réel x : f(x) = - f ' (x) + 2e^-x
2. On en déduit une primitive F de f sur ^:
F(x) = - f (x) - 2e^-x = - (2x - 1)^e-x - 2e^-x = (-2x - 1)e^-x