Partie A : Résolution d'une équation différentielle.
On considère l'équation différentielle (1) : y' + y = 2e-x, dans laquelle y désigne une fonction inconnue de la variable x, dérivable sur l'ensemble
des nombres réels.
1. Résoudre l'équation différentielle (2) : y' + y = 0
2. Soit la fonction h définie sur
par h(x) = 2xe-x. Vérifier que h
est solution de l'équation (1).3. On admet que toute solution de (1) s'écrit sous la forme g + h, où g désigne une solution de l'équation (2).
a. Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation (1).
b. Déterminer la solution f de l'équation (1) vérifiant la condition initiale f(0) = -1
Partie B : Etude d'une fonction exponentielle.
On note f la fonction définie pour tout réel x par : f(x) = (2x - 1)e-x. On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal
. Unités graphiques : 1 cm en abscisses et 2 cm en ordonnées.
1. Etude des limites.
a. Déterminer la limite de f en -
b. En écrivant , pour tout réel x , f(x) = 2xe-x - e-x. déterminer la limite de f en +
.
Quelle conséquence graphique peut-on en tirer pour la courbe C ?
2. Etude des variations de f.
a. Calculer la fonction dérivée f ' de la fonction f, puis démontrer que, pour tout réel x , f '(x) est du signe de (-2x + 3).
b. Dresser le tableau de variation de la fonction f.
3. Représentations graphique
a. Déterminer l'abscisse du point d'intersection de la courbe C avec l'axe des abscisses.
b. Déterminer une équation de chacune des tangentes ( T ) et ( T ') à la courbe C aux points
d' abscisses 3/2 et 1/2.
c. Tracer ( T ), (T ' ) et la courbe C dans le repère
.
Partie C . Détermination d'une primitive
1. Vérifier que, pour tout réel x, f(x) = - f '(x) + 2e-x.
2. En déduire une primitive de la fonction f sur
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