Problème bac génie mécanique, génie des matériaux session 2001
Soit g la fonction définie sur ]0 ; +
[
par : g(x) = -x + x ln x. ( où ln désigne le logarithme népérien ).
1. Résoudre dans l'intervalle ]0 ; +
[
l'équation g(x) = 0. 2. Résoudre dans l'intervalle ]0 ; +
[
l'inéquation g(x) > 0. Partie B
Soit la fonction f définie sur ]0 ; +
[
par : 
On appelle (
)
la courbe représentative de f dans un repère orthonormal 
( unités : 2 cm ). 1. Déterminer
2. Montrer que f '(x) = g(x) . Utiliser les résultats de la partie A pour établir le tableau de variations de f.
3. Calculer
. On
fera apparaître le détail des calculs. 4. Soit A le point d'abscisse 1 de (
).
Déterminer une équation de la tangente en A à la courbe (
). 5. Tracer dans le repère
la tangente T ainsi que la partie de la courbe ()
, relative à l'intervalle [0 ; 6] . 6. Soit la fonction F définie sur ]0 ; +
[
par : 
a. Montrer que F est une primitive de f sur ]0 ; +
[.
b. Calculer en cm² l'aire du domaine limité dans le repère
par la courbe (),
l'axe des abscisses et les droites d'équation x = 1 et x = e . On
en donnera une valeur approchée à 10-2 près.Correction
Partie A
1. g(x)=0
-x + x ln x = 0
x(-1 + ln x) = 0
-1 + ln x = 0
(x ne peut pas être égal à 0 puisque la fonction g
est définie sur ]0 ; + [
)
ln x = 1
ln x = ln e
x = e
S ={e }
2. g(x) > 0
x(-1 + ln x) > 0
x est toujours strictement positif puisque la fonction est définie
sur ]0 ; + [.
-1 + ln x > 0 si et seulement si ln x > 1
si et seulement si ln x > ln e
si et seulement si x > e
Signe de x(-1 + ln x) :
S = ]e ; +[
Partie B
1. en +
en 0
2. f est dérivable sur ]0 ; + [
et pour tout réel x de ]0 ; + [
on a :
en utilisant les résultats de la partie A on en déduit
les variations de f
3.
4.
donc le point A d'abscisse 1 a pour ordonnée -3/4.
Le coeficient directeur de la tangente au point d'abscisse 1 est f
'(1) = -1, on en une l'équation de la tangente au point d'abscisse
A :
5. Construction de la courbe ()
et de la tangente en A sur [0 ; 6]
6.a. F est une primitive de f sur ]0 ; + [
si F est dérivable et F'(x) = f(x)
F est dérivable et
On retrouve bien F'(x) = f(x) donc F est bien une primitive
de f sur ]0 ; + [
b.
L'unité d'aire est de 4 cm²
sur l'intervalle [1 ; e], la courbe ()
est en dessous de l'axe des abscisses
en unités d'aire l'aire du domaine est :
en cm² :
