Exercice 2 : ( 4 points )
Le personnage virtuel d'un jeu electronique doit franchir un torrent en sautant de rocher en rocher. Le torrent se présente de la manière suivante ( les disques R₁, R₂, ...., R₁₇, R₁₈ représentent les rochers ) :

le personnage virtuel part de A pour aller en B. Il ne ne peut que choisir les trajets matérialisés par des pointillés et avancer uniquement dans le sens des flèches.
On appelle " parcours " une suite ordonnée de lettres représentant un trajet possible. Par exemple : A R₁ R₂ R₃ R₆ R₇ B est un parcours qui nessecite 6 bonds.
Toutes probabilité demandée sera donnée sous forme de fraction.
1. Déterminer les six parcours possibles.
2. Le joueur choisit au hasard un parcours. On admet que les différents parcours sont équiprobables.
a. Quelle est la probabilité p₁ de l'évènement " le personnage virtuel passe par le rocher R₇ " ?
b. Quelle est la probabilité p₂ de l'évènement " le personnage virtuel passe par le rocher R₁₄ "?
3. Chaque bond du personnage virtuel nécéssite 2 secondes.
On note X la variable aléatoire qui, à chaque parcours associe sa durée en secondes.
a. Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire X.
b. Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
c. Calculer l'espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X.
4. Quelle devrait être la durée d'un bond du personnage virtuell pour que la durée moyenne d'un parcours soit égale à 10 secondes ?