Exercice 1 : ( 6 points )
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct d'unité graphique 1 cm.
On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument /2.
1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation z² + 4z + 16 = 0
2. Pour tout nombre complexe z, on pose P(z) = z³ - 64.
a. Calculer P(4)
b. Trouver les réels a, b et c tels que, pour tout nombre complexe z,
P(z) = (z - 4)( az² + bz + c)
c. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation P(z) = 0
3. On considère les points A, B et C d'affixes respectives :
z_A = -2 + 2i , , z_C = 4.
a. Etablir que :

Ecrire z_B sous la forme , où r est un nombre réel strictement positif et un nombre réel compris entre - et .
b. Placer les points A, B et C dans le plan muni du repère .
c. Déterminer la nature du triangle ABC.
4. On appelle D l'image de A par la rotation de centre O et d'angle /6 , et on appelle z_D l'affixe du point D.
a. Déterminer le module et un argument de z_D .
b. En déduire la forme algébrique de z_D .
c. Placer le point D sur le graphique précédent.