Partie A
Soit g la fonction définie sur ]0 ; +
[
par g(x) = x2 + 3x - 4 + 4 ln x.
1. Déterminer les limites de g en 0 et +
.2. Soit g' la dérivée de g. Montrer que :
3. Dresser le tableau de variations de g sur ]0 ; +
[.
4. Calculer g(1) et en déduire le signe de g(x) sur ]0 ; +
[.
Partie B
Soit f la fonction définie sur ]0 ; +
[
par : 
On appelle (C) la courbe de f dans un repère orthonormal
(unité
3 cm). 1. a. Déterminer la limite de f en +
.b. Déterminer la limite de f en 0 ; on remarquera que :
Que peut-on en déduire ?
2. a. Montrer que pour tout x strictement positif :
b. En utilisant les résultats de la partie A, étudier les variations de f sur l'intervalle]0 ; +
[.
c. Dresser le tableau de variations de f sur l'intervalle ]0 ; +
[. 3. On rappelle que pour tout x de l'intervalle ]0 ; +
[,
Donner les solutions dans l'intervalle ]0 ; +
[
de l'équation f(x) = x.4. Tracer (C) et la droite d'équation y = x.
5. Interpréter graphiquement le résultat de la question 3.
Partie C
1. Montrer que la fonction F définie sur l'intervalle ]0 ; +
[
par 
est une primitive de f sur l'intervalle ]0 ; +
[.2. On considère dans le plan le domaine (D) délimité par la courbe (C), l'axe des abscisses et les droites d'équations x = 1 et x = e.
a. Hachurer le domaine (D).
b. Calculer l'aire du domaine (D) en unités d'aires puis en cm2. On donnera la valeur exacte puis la valeur approchée arrondie au mm2 près.
