Commun à tous les candidats
Soit f une fonction définie et dérivable sur [-2 ; 10].
La courbe Cf ci-dessous est la représentation graphique de la fonction f dans un repère orthonormal.
On précise que le point d’abscisse 4,83 de Cf a pour ordonnée 1,86 et que cette
valeur est le maximum de a fonction f .
On note CF la courbe représentative de la primitive F de f qui s’annule en 1. On
précise que le point A (5 ; 5,43 ) appartient à CF .
On note Cf ' la courbe représentative de la fonction dérivée f ' de f .
Toutes les estimations graphiques seront données à 0,25 près. Les résultats des calculs numériques seront arrondis à 10-2.
1. a. Déterminer graphiquement sur quel(s) intervalle(s) Cf ' est située en dessous
de l’axe des abscisses.
b. Déterminer, en justifiant, l’équation réduite de la tangente à CF en A.
c. Préciser, en justifiant, le sens de variation de F sur l’intervalle [-2 ; 10].
2. a. Déterminer
b. Rappeler la formule de la valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle
[a ;b] et donner une interprétation de cette notion dans le cas où f
est positive.
c. Donner la valeur moyenne de f sur l’intervalle [1 ; 5].
Correction :
1.a. Le(s) intervalle(s) où Cf ' est située en dessous de l’axe des abscisses sont le(s) intervalle(s) où f ' est négative c'est à dire les intervalles ou la fonction d est décroissante.
l'intervalle correspondant est donc [-2 ; - 0,75]
1.b. Coefficient directeur de la tangente au point A d'abscisse 5 de CF :
F'(5) = f(5) = 1,8
Ordonnée du point A :
F(5) = 5,43
Equation de la tangente au point A d'abscisse 5 :
y = F'(5)( x - 5) + F(5)
y = 1,8(x - 5) + 5,43
y = 1,8x - 9 + 5,43
y = 1,8x - 3,57
1.c.
Cf en dessus de l'axe des abscisses sur [-2 ; -1,8]
[0,8 ; 10]f est la dérivée de la fonction F sur [-2 ; 10] donc
F croissante sur [-2 ; -1,8] et sur [0,8 ; 10] et
F est décroissante [-1,8 ; 0,8]
2.a.
2.b.
la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle [a ; b] est le nombre réel m défini par
dans le cas où la fonction f est positive elle correspond à la hauteur d'un rectangle délimité par les droites d'équation x = a et x = b qui aurait la même aire que le domaine délimité la courbe représentative de f , les droites d'équation x = a et x = b et l'axe des abscisses. (voir propriété de l'intégrale )
2.c.
