EXERCICE 3 (4 points )
Commun à tous les candidats
L’objet de cet exercice est de démontrer le résultat suivant :

Partie A : Étude d’une fonction
On considère la fonction f définie sur ]0 ; +[ par :

1. Calculer f '(x) et montrer que l’on a :
.
2. En déduire le tableau de variations de f sur ]0 ; +[ (les limites aux bornes
ne sont pas demandées).
3. Justifier alors que, pour tout x de ]0 ; +[ ,on a :

Partie B: Utilisation des théorèmes de comparaisons
1. Démontrer que, pour tout réel x strictement supérieur à 1, on a :

2. Déterminer :

En déduire

On rappelle que la dérivée de la fonction
.


Correction :
Partie A :
1. La fonction f est dérivable sur ]0 ; +[ et
pour tout réel x strictement positif on a :

2.
f '(x) est du signe de 2 - , car x > 0 sur ]0 ; +[
étudions le signe de 2 -
2 - > 0 si
2 > si
4 > x 0
on en déduit les variations de f sur ]0 ; +[
f(4) = ln 4 - 2 < 0


f admet un maximum absolue sur ]0 ; +[ qui est égal à ln 4 - 2 < 0 pour x = 4 donc
pour tout réel x de l'intervalle ]0 ; +[ on a :
f(x) 0 par conséquent : ln x - 0 d'où ln x
Partie B :
1. en divisant par x > 0 les 2 membres de l'inégalité ln x on obtient :

c'est à dire encore :

si de plus x > 1 alors ln x > 0 et x > 0 par conséquent :

conclusion pour tout réel x > 1 on a :

2.

le théorème de comparaison des " gendarmes " permet de conclure