Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité
Une urne contient des jetons bleus, des jetons blancs et des jetons rouges.
10% des jetons sont bleus et il y a trois fois plus de jetons blancs que de jetons bleus.
Un joueur tire un jeton au hasard.
S’il est rouge, il remporte le gain de base.
S’il est blanc, il remporte le carré du gain de base.
S’il est bleu, il perd le cube du gain de base.
1. On suppose que le gain de base est 2 euros.
a. Déterminer la loi de probabilité sur l’ensemble des résultats possibles.
b. Calculer le gain moyen que l’on peut espérer réaliser sur un grand nombre de tirages.
2. On cherche à déterminer la valeur g0 du gain de base, telle que le gain moyen
réalisé sur un grand nombre de tirages soit maximal. Le résultat sera arrondi au centime d’euro.
Soit x le gain de base en euros.
a. Montrer que le problème posé revient à étudier les éventuels extremums de la fonction f définie sur [0 ; +
[
parf (x) = -0,1x3 +0,3x2 +0,6x.
b. On désigne par f ' la fonction dérivée de f sur l’intervalle [0 ; +
[
.Déterminer f '(x).
c. En déduire le sens de variation de f sur [0 ; +
[.d. Conclure sur le problème posé.
Correction :
déterminons le pourcentage de chaque jetons :
jetons bleus : 10%
jetons blancs : 30 %
jetons rouges : 60 %
1. a.
Soit X le gain obtenu,
X peut prendre les valeurs 2 ; 2² ; -23 .
Loi de probabilité de X :
p( X = 2) = 60/100
p( X = 4) = 30/100
p( X = -8) = 10/100
1. b.
E(X) = 2
60/100 +
4 30/100 - 8
10/100 = (120 + 120 - 80)/100 = 160/100 = 1,6.
2.a.
Loi de probabilité de X dans le cas d'un gain de x euros :
X peut prendre les valeurs x ; x² ; -x3 .
Loi de probabilité de X :
p( X = x) = 60/100
p( X = x²) = 30/100
p( X = -x3 ) = 10/100
E(X) = x
60/100
+ x²
30/100 - x3
10/100 = - 0,1x3 + 0,3x² + 0,6x
On cherche à rendre maximal E(X) donc cela revient bien à étudier les éventuels extremums de la fonction f définie sur [0 ; +
[
parf (x) = -0,1x3 +0,3x2 +0,6x.
2. b.
f '(x) = -0,3x2 +0,6x +0,6 = -0,3(x² - 2x - 2)
2.c.
g0 = 2,73 € est le gain de base tel que le gain moyen
réalisé sur un grand nombre de tirages soit maximal.
