Commun à tous lea candidats
Une entreprise étudie la progression de ses bénéfices ou pertes, évalues au premier
janvier de chaque année, depuis le 1er janvier 1999. Chaque année est identifiée
par son rang.
À l’année 1999 est attribué le rang 0 et à l’année 1999 + n le rang n ainsi 2001 a le
rang 2. Le tableau ci-dessous indique pour chaque rang xi d’année le bénéfice ou perte réalisé, exprimé en milliers d’euros et noté yi .
On cherche à approcher ces bénéfices par une fonction.
Soit f la fonction définie sur [0 ; +
[
par
On note Cf sa courbe représentative dans un repère orthononoal
d’unitésgraphiques 1 cm pour une unité en abscisses et 1 cm pour 4 unités en ordonnées.
1. Ou considère que l’approximation des bénéfices par f est satisfaisante si la
somme des carrés des écarts entre les valeurs observées yi et les valeurs approchées
f (xi) est inférieure à 0,5.
L’approximation par f est-elle satisfaisante? (Le résultat obtenu à l’aide de la
calculatrice constituera une justification acceptable pour cette question.)
2. a. Déterminer la limite de f en +
.b. En déduire que Cf admet une asymptote D dont on précisera l’équation.
c. Étudier la position de Cf par rapport à D.
3. a. Étudier les variations de f sur [0 ; +
[
et dresser le tableau de variations.b. Déterminer le coefficient directeur de la tangente T à Cf au point d’abscisse 0.
4. a. En utilisant le modèle que constitue la fonction f , en quelle année le
bénéfice évalué au 1er janvier dépassera-t-il 29 800 euros ?
b. Ce bénéfice atteindra-t-il 30 000 euros ? Justifier.
5. Construire Cf , en faisant apparaître tous les éléments graphiques mis en évidence
dans les questions précédentes.
Correction :
1.
la somme des carrés des écarts entre les valeurs observées yi et les valeurs approchées f (xi) est inférieure à 0,5 donc l’approximation par f est satisfaisante.
2.a.
2.b.
La droite D d'équation y = 30 est asymptote à la courbe Cf .
2.c.
donc la courbe Cf est en dessous ( strictement ) de la droite D
3.a.
La fonction f est dérivable sur [0 ; +
[
( composée de fonctions dérivables ) et pour tout réel
x > 0 on a : 
donc f '(x) > 0 donc f est strictement croissante sur [0 ; +
[
f(0) = -e4 + 30
3.b.
Coefficient directeur de la tangente T au point d'abscisse 0 :
4. a.
8 - 2 ln 0,2
11,21Il faut donc l'année de rang 12 c'est à dire en 2011 pour que bénéfice évalué au 1er janvier dépasse 29 800 euros.
b. Le bénéfice n'atteindra jamais 30 000 euros, en effet on a montrer que pour tout réel x positif :
donc f(x) < 30 pour tout réel x positif.
5.
