EXERCICE 2 ( 5 points )
Pour les candidats ayant suivi la spécialité mathématique
Dans l’espace muni d’un repère orthonormal (O,,, ) , on désigne par S
l’ensemble des points M(x ; y ; z) de l’espace telque z = 3xy. On dit S est la surface
d’équation z = 3xy.
Une courbe de niveau de cote z₀ est l’intersection d’un plan d’équation z = z₀,
parallèle au plan (xOy) avec la surface S .
On définit de façon identique une courbe
de niveau d’abscisse x₀ et une courbe de niveau d’ordonnée y₀.
1. Soient les courbes de niveau d’abscisse 1, d’abscisse 3/2 et d’abscisse 2.
Tracer les projections orthogonales de ces courbes de niveau dans le plan
(yOz) .
2. a. Quelle est la nature des courbes de niveau d’abscisse constante?
b. Montrer que les courbes de niveau de cote constante non nulle sont des
hyperboles.
3. Sur la figure 2 sont représentées trois courbes C₁, C₂ et C₃ représentant les
projections orthogonales dans le plan (xOy) de trois courbes de niveau de
cote constante k.
Préciser, en le justifiant, la valeur de k associée à chaque courbe.
4. Le point A' représenté sur la courbe C₂ de la figure 2 est la projection orthogonale
dans le plan (xOy) d’un point A(x ; y ; z), de la surface S .
a. Déterminer les coordonnées du point A dans le repère (O,,, ).
b. Préciser les coordonnées du point A'', projeté orthogonal de A dans le
plan (yOz), puis placer ce point A'' sur la figure 1.
5. Soit P le plan d’équation 3x + 6y - z - 6 = 0.
a. Montrer que le point A appartient au plan P .
b. Montrer que le plan P contient la courbe de niveau d’abscisse 2.
c. Démontrer que l’intersection de la surface S et du plan P est la réunion
de deux droites : la courbe de niveau d’abscisse 2 et une autre droite que
l’on déterminera par un système d’équations cartésiennes.
On pourra utiliser la factorisation x + 2y -xy -2 = (x -2)(1- y).
Figure 2

Correction
1.
z = 3xy ,
pour x = 1 on a : z = 3y
pour x = 3/2 on a : z = 9/2 y
pour x = 2 on a : z = 6 y
par projection sur (yOz) on obtient les mêmes équations de droite

2. a. si x = k (constante ) alors z = 3ky est l'équation d'une droite
2. b. si z = k 0 ( constante non nulle ) alors 3xy = k soit y = k/(3x) est l'équation d'une hyperbole.
3.
La courbe C₁ passe par le point de coordonnée (1 ; 1 ) donc k =3 1 1 = 3
La courbe C₂ passe par le point de coordonnée (1 ; 2 ) donc k = 3 1 2 = 6
La courbe C₃ passe par le point de coordonnée (1 ; 3 ) donc k =3 1 3 = 9
4. a.
Le point A' appartient à la courbe C₂ avec A' ( 2 ; 1 ) donc les coordonnées de A dans le repère (O,,, ) sont A( 2 ; 1 ; 6 )
4. b. A'' appartient à la projection orthogonale de la courbe de niveau d' abscisse 2 dans le plan (yOz) donc A'' appartient à la droite D₂ ses coordonnées dans le plan (y Oz) sont (1 ; 6).
5.a. A(2 ; 1 ; 6) appartient au plan P si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation de P : 3x + 6y - z - 6 = 0.
3 2 + 6 1 - 6 - 6 = 6 + 6 - 6 - 6 = 0 donc A(2 ; 1 ; 6) P
b. Tout point M de la courbe de niveau d’abscisse 2 a pour coordonnées :
( 2 ; y ; z ) où z et y sont deux réels tels que : z = 6y
donc M( 2 ; y ; 6y )
3 2 + 6 y - 6y - 6 = 0 donc ses coordonnées vérifient l'équation de P donc il appartient à P. Le plan P contient la courbe de niveau d’abscisse 2.
c. M( x ; y ; z ) P S équivaut à
3x + 6y - z - 6 = 0 et z = 3xy équivaut à
3x + 6y -3xy - 6 = 0 et z = 3xy équivaut à
x + 2y - xy - 2 = 0 et z = 3xy équivaut à
x - xy + 2y - 2 = 0 et z = 3xy équivaut à
x(1 - y) + 2(y - 1) = 0 et z = 3xy équivaut à
x(1 - y) - 2(1 - y ) = 0 et z = 3xy équivaut à
(1 - y)(x - 2) = 0 et z = 3xy équivaut à
y = 1 ou x = 2 et z = 3xy équivaut à
(y = 1 et z = 3x ) ou (x = 2 et z = 6y ) équivaut à
M( x ; y ; z) appartient à la réunion de deux droites :
la courbe de niveau d'abscisse 2 et la courbe de niveau d'ordonnée 1.