Commun à tous les candidats
Dans un repère orthonormal du plan
d’unités
graphiques 2 cm, lacourbe (
), tracée
ci-dessous, est la représentation graphique d’une fonction g
définie et dérivable sur l’intervalle [0 ; 3,5].• I et J sont les points du plan tels que
= 
et 
= 
;• C est le point de (
)
situé sur la bissectrice de 
• (OA) est la tangente en O à (
) ;• S est la surface hachurée sur la figure ci-dessous :
1. Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes :
a. Quel est le tableau de variations de g sur [0 ; 3,5]?
b. Quelles sont les valeurs de g '(0) et de g '(1) ?
c. Quelles sont les coordonnées du point C?
d. Résoudre l’inéquation g (x)
x sur [0 ; 3,5].2. Définir la surface S par un système d’inéquations et déterminer graphiquement
un encadrement de l’aire de S d’amplitude 2 cm².
Rappel : l’aire d’un trapèze est donnée par la formule:
B et b sont les bases du trapèze et h sa hauteur.
3. On suppose que l’une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique
de la primitive de la fonction g s’annulant en 0. En justifiant l’élimination
de deux des courbes, indiquer celle qui est la représentation graphique
de cette primitive.
Correction :
1.a.
b. g '(0) est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 0, par lecture graphique on lit : g'(0) = 4.
et de g '(1) est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 1, or cette tangente est parallèle à l'axe des abscisses donc son coefficient directeur est nul :
g'(1) = 0.
c. Le point C a pour coordonnée ( 7/4 ; 7/4)
d. La courbe représentative de la fonction g est au dessus de la droite d'équation y = x sur l'intervalle [0 ; 7/4] ,
donc l'ensemble des solutions de l'inéquation g (x)
x sur[0 ; 3,5] est [0 ; 7/4].2. S est l'ensemble des points M de coordonnées (x ; y ) tels que :
l'aire de S est encadrée par l'aire du triangle OBI et l'aire du trapèze OABI
3. Soit G une primitive de la fonction g , g est donc la dérivée de G et d'après ce qui précéde on doit avoir G croissante puisque g est positive sur l'intervalle [0 ; 3,5]
donc on élimine la courbe n° 3 qui ne vérifie pas ces conditions.
On sait que G'(0) = g(0) = 0 donc la courbe admet une tangente horizontale au point d'abscisse 0 de la courbe, ce qui élimine le choix de la courbe n° 1.
La bonne réponse est la courbe n° 2.
