Le plan complexe est muni du repère orthonormal direct
;
unité graphique 2cm.On appelle A et B les points du plan d'affixes respectives a = 1 et b = -1.
On considère l'application f qui, à tout point M différent du point B, d'affixe z, fait correspondre le point M' d'affixe z' définie par
On fera une figure qui sera complétée tout au long de cet exercice.
1. Déterminer les points invariants de f c'est-à-dire les points M tels que M = f(M).
2. a) Montrer que, pour tout nombre complexe z différent de -1, (z' - l)(z +1) = - 2.
b) En déduire une relation entre | z'-1 | et | z + l | , puis entre arg(z'-l) et arg (z + l), pour tout nombre complexe z différent de -1.
Traduire ces deux relations en termes de distances et d'angles.
3. Montrer que si M appartient au cercle (C) de centre B et de rayon 2, alors M ' appartient au cercle (C ') de centre A et de rayon 1.
4. Soit le point P d'affixe p = - 2 + i
.a) Déterminer la forme exponentielle de (p + 1).
b) Montrer que le point P appartient au cercle (C).
c) Soit Q le point d'affixe q = -
où est le
conjugué de p. Montrer que les points A, P'et Q sont alignés.d) En utilisant les questions précédentes, proposer une construction de l'image P ' du point P par l'application f .
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