Partie A
On donne le tableau de variation d'une fonction f dérivable sur
: 
On définit la fonction F sur
par 
1. Déterminer les variations de la fonction F sur
,2. Montrer que 0 < F(3)< 4e-2.
Partie B
La fonction f considérée dans la partie A est la fonction définie sur
par f( x) = x2e-x. On appelle g la fonction définie sur
par
g(x) = e-x.On désigne par (C) et (
)
les courbes représentant respectivement les fonctions f et
g dans un repère orthogonal 
Les courbes sont tracées en annexe.
1. a) Montrer que les variations de la fonction f sont bien celles données dans la partie A.
On ne demande pas de justifier les limites.
b) Étudier les positions relatives des courbes (C) et (
).2. Soit h la fonction définie sur
par h(x) = (x2 - l)e-x.a) Montrer que la fonction H définie sur
par H(x) = (- x2 -2x - l)e-x
est une primitive de la fonction h sur .b) Soit un réel
supérieur ou égal à 1.On considère la partie du plan limitée par les courbes (C) et (
) et les droitesd'équations x = 1 et x =
.Déterminer l'aire A(
),
exprimée en unité d'aire, de cette partie du plan.c) Déterminer la limite de A(
)
lorsque tend vers
+ 
3. On admet que, pour tout réel m strictement supérieur à 4e-2, la droite d'équation y = m coupe la courbe (C) au point P( xP; m) et la courbe (T) au point Q( xQ; m).
L'objectif de cette question est de montrer qu'il existe une seule valeur de xP appartenant à l'intervalle ]-
,-l] telle que la distance PQ soit égale à 1.a) Faire apparaître approximativement sur le graphique (proposé en annexe, page 7)
les points P et Q tels que xP
]-,-1] et PQ = 1.b) Exprimer la distance PQ en fonction de xP et de xQ. Justifier l'égalité f(xP)=g(xQ).
c) Déterminer la valeur de xP telle que PQ = 1.
