Définition : un ensemble A non vide, muni de deux
lois de composition interne notées respectivement + et * est
appelé un anneau si :
- L'ensemble A muni de la première loi + est un groupe commutatif.
- La seconde loi * , est associative et distributive par rapport à la première loi.
- si de plus la seconde loi * est commutative alors le anneau est dit commutatif.
- si l'anneau admet pour la seconde loi , un élément neutre, l'anneau est dit unitaire.
- soit 0 l'élément neutre pour la première loi
+ , si pour tout élément a et b de A tels que a
0 et b 0 on a
:
a
b
0 alors l'anneau est dit anneau d'intégrité
. - Les éléments d'un anneau unitaire (A , + , *) qui admettent des symétriques pour la seconde loi *, sont appellés éléments inversibles de l'anneau A,
Propriété : l'ensemble des éléments
inversibles muni de la loi * d'un anneau (A , + , *) est un groupe appelé
groupe des inversibles de A.
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