Il n'existe pas de rationnel positif dont le carré est 2, la racine carrée de 2 est irrationnelle.

• Supposons qu'il existe un élément x = p/q de ⁺ ( ensemble des rationnels positifs ) tel que x² = 2, avec p et q premiers entre eux ( c'est à dire que p/q est une fraction irréductible ) .
  on a : (p/q)² = 2 donc p² = 2 q²
  
  
• Comme p² = 2q² on peut dire que p² est un multiple de 2 ou encore 2 divise p² par conséquent 2 divise p aussi.
  
  
• Comme 2 divise p , il existe donc un entier naturel p' tel que p = 2p' mais alors p² = 4p'² c'est à dire 2q² = 4p'²
  
  
• on a 2q² = 4p'² par conséquent q² = 2p'² , donc q² est un multiple de 2 ou encore 2 divise q² donc 2 divise q.
  
  
• 2 divise à la fois p et q , ce qui est contradictoire avec l'hypothèse : p et q sont premiers entre eux.
  
  

En conclusion :
Il n'existe pas de rationnels positifs dont le carré est 2, donc il n'existe pas non plus de rationnel négatif dont le carré est 2 sinon le l'opposé de ce nombre serait un rationnel positif dont le carré serait 2.